Функционал обобщенной энтропии
Общее определение. Пусть задана некоторая категория Q структурированных множеств, задающая для своих объектов А и Х структуру. Преобразования из Х в А можно рассматривать, как допустимые структурой системы способы получить состояние А из состояния Х. В таком случае – число таких способов.
По аналогии со статистической физикой, где различают
макросостояние и соответствующий ему набор микросостояний, понятие
инварианта состояния системы можно интерпретировать как присущее этому
состояние число микросостояний.
Число преобразований зависит как от числа
элементов в множествах Х и А, так и от типа структуры,
заданной на этих множествах. Чтобы исключить зависимость от числа
элементов, сохранив зависимость от структуры, можно рассматривать
удельный инвариант , где – инвариант тех же по
мощности множеств Х и А, но в категории «бесструктурных» множеств. Введем
величину . Смысл ее – логарифм
удельного числа преобразований состояния Х в состояние А,
или удельного числа способов получения состояния А из Х
(иногда такое число способов отождествляют с вероятностью образования
состояния). Указанные интерпретации оправдывают употребление для
величины термина «обобщенная
энтропия состояния А относительно состояния Х» по
аналогии с больцмановским подходом к определению энтропии.
Возникшая конструкция обобщенной энтропии получена вне каких-либо
статистических или вероятностных предпосылок. Величина обобщенной
энтропии может быть строго рассчитана для состояний любых систем,
эксплицируемых математическими структурами. Она может быть вычислена
для состояний, описываемых множествами с любым – большим или малым –
количеством элементов. Вероятностные интерпретации могут возникать при
рассмотрении определенных типов систем, но они совершенно не обязательны
для расчетов энтропии.
Полученный функционал обобщенной энтропии предлагается применять в
методологии экстремальных
принципов (т.е. для поиска выделенных – реально
осуществляющихся – состояний систем среди всех потенциально возможных),
постулируя принцип
максимума обобщенной энтропии.
Вид функционала обобщенной энтропии для математической структуры множества с разбиениями. Рассмотрим множество из n элементов, разбитое на w непересекающихся классов с количеством элементов в классе в классе i(), т.е. математическую структуру множеств с разбиениями. Допустимыми преобразованиями, переводящие каждый класс в себя же, являются инъективные, сюръективные, не всюду определенные и не функциональные соответствия. В этом случае функционал обобщенной энтропии имеет вид: . Отметим, что в этом случае формула для обобщенной энтропии полностью совпадает с формулами для энтропии идеального газа Л.Больцмана или для энтропии каналов связи К.Шеннона.
Множествами с разбиениями удобно описывать сообщество одноклеточных микроорганизмов одного трофического уровня (в том числе диссоциантов бактерий), развивающихся в режиме накопительного культивирования. Классы разбиения как раз соответствуют физиологически различным группам организмов, элементы множества – особям. Набор численностей входящих в сообщество групп назовем состоянием сообщества. Переходы сообщества из одного состояния в другое могут быть описаны соответствиями между множествами с разбиениями. На рис. представлены преобразования, которые могут происходить с организмами, и их математическая интерпретация соответствиями между множествами.
Размножение организмов |
|
Поглощение одним
организмом другого |
|
Смерть особи или ее
элиминация из сообщества |
|
Интродукция особей в
сообщество |
|
Рис. Возможные преобразования особей в экологическом сообществе и их математическая интерпретация |
П. В. Фурсова
Литература:
Левич
А.П.
Теория множеств, язык теории категорий и их применение в теоретической
биологии. Учебное пособие. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. 190 c.
Левич
А.П.
Энтропия как мера структурированности сложных систем // Труды семинара
“Время, хаос и математические проблемы”. М.: Ин-т математических
исследований сложных систем МГУ, 2000. Вып. 2. С.163.
Левич
А.П.
Принцип максимума энтропии и теоремы вариационного моделирования //
Успехи современной биологии, 2004, т. 124, № 6, с. 3-21
A.P. Levich. Variational Modelling Theorems and Algocoenoses Functioning Principles.